Grupy i ich reprezentacje

Tym, co najprzyjemniej wspominam ze studiów, jest teoria grup. Ponieważ byłem na biofizyce, nie na teoretycznej, to wraz z koleżanką i kolegami (na specjalizacji było nas sześcioro) grupy ledwo liznęliśmy. Ale i tak uważam to za jeden z najważniejszych punktów w mojej edukacji. Co to jest grupa? „Grupa” w języku codziennym, i podobnie chyba we wszystkich językach (o których słyszałem), to „kilka czegoś”. Słowo zaczęło być używane w malarstwie na oznaczenie kilku osób lub przedmiotów (np. na stole), które razem są ujęte jako pewna całość. Nadal dla słowa „grupa” (w jego potocznym użyciu) pozostał sens: „kilka czegoś”, ale tych kilka razem coś robią, jakoś się do siebie mają. Słowo chociaż brzmi swojsko-polsko (jak chyba we wszystkich językach), jednak przyszło z francuskiego, tam zaś via hiszpański lub włoski ze źródła germańskiego (od Gotów?, Franków?) – tak w www.etymonline.com; dalej szukaj sam/a.

Sens matematyczny „grupy” jest równie prosty, a przy tym ściśle zdefiniowany. To jest nadal „kilka czegoś”, ale te elementy robią ze sobą „coś takiego, jak tabliczka mnożenia”. Elementy grupy wykonują działanie. Jedno działanie. Nie dwa lub cztery jak na liczbach, nie – tylko jedno. Jeśli wziąć liczby (dodatnie i ujemne) i zapomnieć o mnożeniu, a zostawić samo ich dodawanie, to te liczby będą grupą. Grupa z definicji musi mieć element neutralny, „nic nierobiący”. W tym przykładzie jest nim zero. Każdy element grupy musi mieć element do siebie odwrotny, tak, żeby „zrobione” razem dały „grupowe zero”. W tym przykładzie jest to liczba z przeciwnym znakiem.

Chyba główna trudność z uczeniem się grup polega na tym, że trzeba o wielu rzeczach zapominać, wycierać je z pamięci (jak np. to, że liczby nie tylko się dodaje, ale i mnoży) i upraszczać, redukować. Więc teoria grup jest taka algebrą minimum. Chociaż pewnie matematycy w swojej niepohamowanej produktywności wymyślili struktury jeszcze bardziej uproszczone.

W enneagramie matematyk musi być kombinacją 1-Perfekcjonisty (bo wszystko tam musi się zgadzać, zero luzu, dowolności) i 5-Obserwatora – właśnie z powodu tej manii minimalizmu.

Jeszcze lepszym przykładem grupy, pozwalającym lepiej wyczuć, co to grupa, są liczby modulo ileś. Co to jest? Umawiamy się, że znamy liczby od zera do iluś, a dalej już nie znamy. Powiedzmy, że do dwóch. Wtedy mamy dodawanie: 0+1=1; 0+2=2; 1+1=2 ...OK! Ale co gdy 1+2=...? Trójki już mamy nie znać. Radzimy sobie wracając na początek. Trzy to to samo, co zero. Więc: 1+2=0. I to właśnie jest grupa! Elementem nieczynnym jest 0 – i element przeciwny do zera to też zero; przeciwne do 1 jest 2, a przeciwne do 2 jest 1 – bo dodane dają zero. (Nie 3, trzech nie znamy, w tej grupie nie ma tej liczby.) Ta grupa jest bardzo poważną grupą i nazywa się Z3, czyli grupa cykliczna rzędu 3. (Jednak 3, chociaż mieliśmy o nim zapomnieć.)

Grupami są wszelkie operacje w przestrzeni. „Odwróć na drugą stronę”. „Obróć do góry nogami”. „Przekręć w prawo (o kąt prosty)”. „Odbij w lustrze” – te wszystkie akcje, gdy je zebrać razem, zachowują się jak grupa, czyli grupą są. Polecam w ang. Wikipedii List of small groups. Wszystkie możliwe obroty w przestrzeni są grupą i nazywają się SO(3). Trzy, bo przestrzeń trójwymiarowa. Ta grupa już nie jest „mała”... ale tu zaczyna się rozległy temat, więc stop.

Macierze i ich mnożenie tworzą grupę. I to jest dobre i ważne, ponieważ grupy i ich elementy są (jednak) kapryśne, zdarza im się należeć do różnych sfer rzeczywistości. (I nie-rzeczywistości.) Np. na stronie https://en.wikipedia.org/wiki/Examples_of_groups w pierwszym rozdziale jest przykład grupy, która polega na zamianie składowych kolorów w systemie RGB (czerwony-zielony-niebieski). Tu jest moje zdjęcie (z 2015 r.), obok to samo poddane jednemu z elementów grupy, operacji RGB → BRG:

Więc te kapryśne grupy z różnych bajek można zestandaryzować, „przetłumaczając” je na macierze. Wtedy każdemu elementowi grupy odpowiada pewna macierz, a działaniu grupowemu – mnożenie macierzy. Macierze są przyjemne, ponieważ są bardzo konkretne: są to tabele z liczbami, na których wykonuje się różne operacje. Nie będę w to wchodzić, w końcu nie piszę podręcznika matematyki.

Grupa przetłumaczona na macierze, a raczej same te macierze (zbiór tych macierzy) nazywa się reprezentacją. Ich właściwości są równie ciekawe jak samych grup.

Powoli zmierzam do finałowego pytania, bo jednak ten tekst napisałem z pewnym zamysłem. Każda skończona (mająca skończoną liczbę elementów) grupa jest podzbiorem (podgrupą! – czyli zbiorem, który sam jest grupą) grupy permutacji pewnej liczby przedmiotów. Fachowo nazywając: jest podgrupą grupy symetrycznej S_N. Pytanie brzmi: czy gdzieś w Internecie zebrano reprezentacje grup symetrycznych? Na razie dotarłem do strony groupprops.subwiki.org/wiki/Symmetric_group:S3 – dobrze wygląda!

Czy to, o czym tu piszę, ma związek z moim głównym zainteresowaniem, czyli z astrologią? Pośrednio, przez enneagram. Szukając o grupach, mam nadzieję, że znajdę szerszy widok na enneagram.

Jest jeszcze płaszczyzna Fano (widzę, że pl Wiki odmienia nazwisko założyciela: „płaszczyzna Fana”), bardzo obiecująca dla wróżbitów. Zbiór jej transformacji, które dziwnie przypominają karty Tarota, liczy 168 elementów, wśród nich 78 tych tarotowych. Są podgrupą S₇...